房貸與不動產抵押貸款證券（MBS）：從攤還結構、提前還款模型（CPR/SMM）到蒙地卡羅評價與 OAS | ClimbFlow

引言：MBS——流動性煉金術與非對稱提前還款風險

在固定收益證券發展史上，不動產抵押貸款證券（Mortgage-Backed Securities, MBS）的誕生堪稱一場劃時代的金融創新。透過資產證券化（Securitization），原本流動性極低、單筆金額龐大且高度分散的個別房屋貸款，被打包重組成具備高流動性、可在二級市場自由交易的標準化證券，極大化地活絡了金融機構的資產負債表。

然而，MBS 也是金融工程中最具挑戰性的複雜資產之一。關鍵在於：房屋借款人擁有一個內嵌的「免費買權」——提前還款選擇權（Prepayment Option）。當市場利率大幅走低時，借款人會蜂擁進行再融資（Refinancing）以提早償還舊貸款；當市場利率飆升時，借款人則選擇鎖定低息貸款、極力延緩還款。這種借款人的理性行為導致 MBS 面臨惡名昭彰的負凸性（Negative Convexity）——利率下跌時價格漲幅受限（縮短風險），利率上升時價格跌幅加劇（展期風險）。

理解 MBS 的現金流攤還規律、提前還款速度計量（CPR/SMM/PSA）、CMO 結構分層重組、蒙地卡羅路徑依賴模擬以及選擇權調整利差（OAS），是每一位 FRM 風險管理師必備的進階核心能力。

論點一：住宅房貸微觀結構與等額本息攤還計算（Fixed-Rate Level-Payment & Amortization）

1.1 房貸產品分類：固定利率、可調利率（ARM）與證券化演進

固定利率房貸（Fixed-Rate Mortgages）：
合約期限內利率完全固定（常見為 15 年或 30 年），借款人每月繳納固定金額的等額本息。其優點為現金流可預測性高，但放款銀行需承擔長期的利率波動風險。
可調利率房貸（Adjustable-Rate Mortgages, ARMs）：
利率在初期固定數年後，定期根據市場基準指數（如 SOFR 或國債利率）加計固定加點進行動態調整。當市場利率劇烈上升時，借款人的月供大幅暴增，容易引發支付衝擊（Payment Shock）與違約風險激增。

1.1.1 【房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構】

房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構

公寓大樓

自住住宅

各類房貸戶

【眾多房屋借款人】

數千至數萬名借款人，每月按期繳納房貸本金與利息。

【發起行 / 服務商】

負責貸款審批、發放、催收與現金流管理。

扣除服務費 / 擔保費

(Servicing & Guarantee Fees)

【SPV 房貸資產池】

這是通過 SPV 發行的證券。借款人每月償還的本息在扣除服務費與擔保費後，如流水般原汁原味地「過手」傳遞給終端投資人。

壽險/退休金

基金/個人

【過手證券投資人】

投資過手證券的最終持有人，享有房貸資產池的利息收益，同時全額承擔提前還款的縮短與展期風險。

1. 借款人每月本息還款

2. 扣除 Servicing & Guarantee 費用

3. SPV 資產池打包過手

4. 投資人依比例收取剩餘淨現金流

過手證券結構（Pass-Through Securities）：
發起機構（Originator）將房貸打包出售給特殊目的機構（Special Purpose Vehicle, SPV），SPV 發行過手證券。借款人每月償還的本金與利息，扣除必要的服務費（Servicing Fee）與擔保費（Guarantee Fee）後，如流水般原汁原味地「過手」傳遞給終端投資人。

1.2 等額本息完全攤還（Level-Payment Fully Amortized）數學機制

在固定利率、完全攤還房貸中，每月總還款額（ $PMT$ ）保持恆定，但其內部的利息成分（Interest Component）與本金償還成分（Principal Component）隨時間呈現顯著的此消彼長規律：

每月利息：等於「期初未償本金餘額（Beginning Balance） $\times$ 月利率（ $r = \text{Annual Rate} / 12$ ）」。
每月本金償還：等於「每月總還款額 $PMT - \text{當月利息}$ 」。
期末本金餘額：等於「期初本金餘額 $-$ 當月本金償還」。

等額本息房貸月還款（PMT）內部「利息 vs. 本金」動態消長趨勢

貸款初期（前 10 年）

未償本金基數龐大，月供中 70%~90% 用於支付利息，剩餘本金餘額減少極其緩慢。

貸款後期（後 10 年）

未償本金已大幅降低，利息負擔急劇萎縮，絕大部分月供直接轉為本金加速清償。

初期特性：未償本金龐大，每月還款絕大部分被利息吞噬，本金減少極其緩慢。
後期特性：本金餘額大幅下降，每月利息微乎其微，絕大部分還款直接用於加速償還剩餘本金。

1.3 機構型（Agency/Conforming）vs. 非機構型（Non-Agency）MBS 的信用防護

機構型 MBS（Agency / Conforming MBS）：
由美國三大政府資助機構（GSEs）發行或擔保：政府國民抵押貸款協會（GNMA / Ginnie Mae，享美國政府全額信用擔保）、聯邦國民抵押貸款協會（FNMA / Fannie Mae）及聯邦住房金融抵押公司（FHLMC / Freddie Mac）。
- 信用風險近乎為零：GSEs 保證準時支付本息；若借款人實質違約，GSEs 會直接替借款人代償全額未償本金。
- 投資人仍全額承擔提前還款風險：違約代償在現金流視角上與「借款人提前全額還款」完全等價。
非機構型 MBS（Non-Agency / Non-Conforming MBS）：
由商業銀行、券商等私部門機構發行，底層資產為大額貸款（Jumbo Loans）或信用評分較低的次級房貸（Subprime），無 GSEs 擔保，投資人必須直接承擔信用違約與本金損失風險，通常需依賴內部信用增級（如優先/次順位分層）進行防禦。

論點二：MBS 證券化池與提前還款速度量化（WAM, WAC, CPR, SMM, PSA Benchmark）

2.1 房貸池加權特徵：WAM 與 WAC

由於房貸池內包含數百至數千筆不同條件的個別貸款，市場使用兩個加權指標刻畫其基礎特徵：

加權平均到期期限（Weighted Average Maturity, WAM）：
以各筆貸款未償本金餘額佔資產池總金額之權重，計算剩餘到期月數之加權平均值。
加權平均票面利率（Weighted Average Coupon, WAC）：
以各筆貸款未償本金餘額為權重，計算貸款年利率之加權平均值。

2.2 提前還款速度指標：CPR 與 SMM 的精確雙向轉換

提前還款使 MBS 的現金流時間與金額充滿不確定性。市場採用以下標準化指標進行量化：

條件提前還款率（Conditional Prepayment Rate, CPR）：
以年化百分比表示的房貸池未償餘額預期提前還款速率。
單月死亡率（Single Monthly Mortality Rate, SMM）：
衡量當月未償本金餘額（扣除當期表定本金償還後）在該月份被提前清償的實際比例。

兩者之間的無套利幾何轉換公式為：

$SMM = 1 - (1 - CPR)^{1/12}$

$CPR = 1 - (1 - SMM)^{12}$

實例：若 $CPR = 6\%$ ，則 $SMM = 1 - (1 - 0.06)^{1/12} \approx 0.514\%$ 。代表當月扣除表定攤還後剩餘本金的 $0.514\%$ 會被提前還清。

2.3 PSA 提前還款標準基準曲線（100 PSA 模型）

美國公債與證券業協會（PSA）提出了業界通用的標準化提前還款基準模型（100% PSA），用以刻畫 30 年期新發行房貸隨「貸款成熟度（Seasoning）」逐漸上升的提前還款規律：

前 30 個月（加速期）： $CPR$ 自第 1 個月的 $0.2\%$ 開始，每月線性遞增 $0.2\%$ ，即 $CPR = 0.2\% \times t$ （ $t$ 為月數，第 14 個月 $CPR = 14 \times 0.2\% = 2.8\%$ ）。
第 30 個月至第 360 個月（平穩成熟期）： $CPR$ 固定維持在年化 $6.0\%$ 。

PSA 提前還款基準模型曲線（100 PSA vs. 200 PSA vs. 50 PSA）

100% PSA 運作公式：前 30 個月 $CPR = 0.2\% \times t$（每月線性遞增 0.2%）；第 30 至 360 個月 $CPR$ 永久恆定為 $6.0\%$。

$X\%$ PSA 換算： $X\%$ PSA 即代表在各月份的 $CPR$ 均為 100 PSA 標準值的 $X\%$ 倍（例如 150 PSA 在第 25 個月 $CPR = 1.5 \times (25 \times 0.2\%) = 7.5\%$ ）。

2.4 TBA 市場機制、指定池交易與 Dollar Roll（美元滾動）評價

MBS 二級市場主要有兩種交易模式：

指定池市場（Specified Pools Market）：買賣雙方在交易前即明確指定具體的房貸池編號（Pool ID）與精確特徵，價格直接反映該特定池的提前還款特點。
待公布市場（To-Be-Announced, TBA Market）：流動性極高的前瞻遠期市場。交易雙方僅約定發行機構、年期與票面利率，賣方在結算日前 2 天（48-Hour Rule）才通知買方具體交付的房貸池，賣方具有最廉交付（Cheapest-to-Deliver）選擇權。
美元滾動交易（Dollar Roll Transaction）：
MBS 造市商在賣出近月 TBA 合約的同時，買入遠月（下一個月）TBA 合約。此交易實質上放棄了近月房貸池的票息與本金現金流，換取近月資金在貨幣市場的短期利息收益與遠月合約的價格折扣（Drop）。
$\text{Value of a Dollar Roll} = A - B + C - D$
- $A$ ：第 1 個月賣出房貸池所得現金（含應計利息）
- $B$ ：第 2 個月買回房貸池支付成本（含應計利息）
- $C$ ：將第 1 個月銷售資金進行 1 個月短期再投資所得利息
- $D$ ：因放棄持有該房貸池 1 個月而損失之應得票息與本金償還

論點三：結構化重組與分層風險重塑：CMO、PAC、PO 與 IO

3.1 提前還款的兩大雙生風險：縮短風險（Contraction Risk）與展期風險（Extension Risk）

提前還款選擇權使一般過手證券（Pass-Through）投資人同時暴露於兩大極端風險中：

縮短風險（Contraction Risk）：當市場利率大幅下跌時，借款人加速還款，MBS 現金流快速收回，導致證券平均壽命（Average Life）劇烈縮短，投資人被迫在更低的市場利率下進行再投資。
展期風險（Extension Risk）：當市場利率大幅上升時，借款人停止還款，MBS 現金流停滯，證券平均壽命被大幅拉長，投資人資金被長期鎖定在低於市場利率的資產上。

3.2 擔保抵押貸款憑證（CMO）與計畫攤還級別（PAC）的防護傘機制

為了滿足不同機構法人對風險期限的嚴苛要求，華爾街設計了擔保抵押貸款憑證（Collateralized Mortgage Obligations, CMO），將底層房貸池的現金流依規則重新切割分層為不同的級別（Tranches）。

其中最經典的結構即為計畫攤還級別（Planned Amortization Class, PAC Tranches）與支援級別（Support / Companion Tranches）的組合：

CMO 結構化分層：PAC 優先級別 vs. Support 支援緩衝級別

底層房貸池總現金流流入 (Collateral Cash Flow)

PAC Tranche（計畫攤還級別）

優先保障 · 極低現金流波動

✓在 PAC Collar（如 100~250 PSA）區間內，嚴格依固定時間表收取本金。
✓完全免於縮短風險（Contraction Risk）與展期風險（Extension Risk）。

Support Tranche（支援/伴隨級別）

風險緩衝 · 承擔雙向極端波動

⚡超速還款時：優先全額吸收超額本金，防止 PAC 提前縮短。
⚡減速還款時：本金全部讓渡給 PAC，自身承受現金流延遲展期。

破裂 PAC（Busted / Broken PAC）警訊：若極端提前還款速度持續過久，導致 Support 級別本金被全部清償殆盡，PAC 將徹底失去緩衝屏障，退化為一般順序支付（Sequential-Pay）債券。

PAC 領航機制：PAC 級別在特定的提前還款區間（稱為 PAC Collar，如 100~250 PSA）內，享有完全穩定的本金攤還時間表。
Support 級別的緩衝吸收：
- 若實際提前還款速度超速（ $> \text{Upper Collar}$ ），Support 級別優先吸收所有超額本金，保護 PAC 不發生縮短風險。
- 若實際提前還款速度低於預期（ $< \text{Lower Collar}$ ），本金優先全部供應給 PAC，Support 級別本金被延後發放，承擔展期風險。
破裂 PAC（Busted / Broken PAC）：若極端超速還款持續過久，導致 Support 級別被全數本金清償完畢，PAC 將失去所有緩衝保護，退化為普通的順序支付（Sequential-Pay）債券。

3.3 剝離式證券（Stripped MBS）：純本金證券（PO）與純利息證券（IO）的極端敏感度

將底層房貸的本息完全剝離，會誕生兩種對利率反應截然相反的極端衍生品：

證券類型	現金流結構特徵	利率敏感度與存續期間	利率下跌時的表現
純本金證券（Principal-Only, PO）	僅收取本金現金流。初期金額極小，隨時間與本金攤還加速而擴大。最終收回全額面值。	極高正存續期間（Positive Duration）。對提前還款加速極度敏感。	價格暴漲。利率走低引發提前還款狂潮，折價發行的本金加速全額回流，大幅提升內部報酬率（IRR）。
純利息證券（Interest-Only, IO）	僅收取利息現金流。初期金額極大，隨著本金餘額被償還而持續萎縮。無面額返還保證。	負存續期間（Negative Duration）。極度渴望借款人「延緩還款」。	價格暴跌。利率走低引發本金迅速清償，底層計息本金瞬間歸零，IO 投資人損失大部分預期利息，甚至面臨總投資本金虧損。

論點四：提前還款動態建模、蒙地卡羅路徑依賴評價與選擇權調整利差（OAS）

4.1 提前還款的四大行為驅動因子：再融資、周轉、違約與縮減

行為學與計量模型將房貸池提前還款拆解為四大驅動力量：

再融資（Refinancing）：受激勵函數（Incentive Function: $I = WAC - R$ ）驅動。當現行房貸利率 $R$ 明顯低於原貸款利率 $WAC$ 且能覆蓋手續費時觸發。同時存在再融資疲勞效應（Refinancing Burnout）：當利率多次下降又回升時，能夠且願意再融資的借款人早已在第一波完成操作，後續週期的再融資響應度將大幅衰減。
房屋周轉（Housing Turnover）：借款人因搬家、換屋或工作變遷出售房產而強制清償貸款。受到季節性（夏季高、冬季低）及鎖定效應（Lock-in Effect，高息環境下屋主不願放棄既有超低息房貸而減少換屋）影響。
違約代償（Defaults）：借款人違約後由保證機構（如 GSEs）代償全額剩餘本金，在現金流效果上等同於提前還款。受貸款價值比（LTV）與 FICO 信用評分高度影響。
小額縮減（Curtailments）：借款人在正常月供之外額外支付的小額本金加速還款，多發生於貸款成熟後期或餘額較小的帳戶。

4.2 蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）六步驟與路徑依賴（Path Dependence）

由於 MBS 提前還款具有顯著的路徑依賴性（Path Dependence，當期還款率取決於歷史上利率走過的完整軌跡與疲勞狀態），傳統的無記憶二元樹（Binomial Tree）模型無法適用，必須依賴蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation）：

MBS 蒙地卡羅評價與選擇權調整利差（OAS）六步驟流程

01步驟 1

利率與房價路徑模擬

利用無套利利率模型生成 360 個月之短期利率與房價隨機擴散軌跡。

02步驟 2

行為還款計量建模

依據激勵函數 (WAC - R)、再融資疲勞 (Burnout) 及 LTV 計算各月 CPR/SMM。

03步驟 3

逐月推導總現金流

推導各條隨機路徑下各月份的「表定本金 + 淨利息 + 提前還款總額」。

04步驟 4

即期折現率貼現現值

沿著該條隨機路徑之即期折現曲線，將 360 個月現金流貼現求得單一路徑現值 (PV)。

05步驟 5

數萬次蒙地卡羅疊代

重複步驟 1~4 數千至數萬次，生成龐大且完整的現值機率分佈。

06步驟 6

公允價值與 OAS 反推

計算全體路徑現值均值作為公允價值，並數值反推選擇權調整利差 (OAS)。

4.3 選擇權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）的迭代反推與實務局限

選擇權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）是將提前還款選擇權的代價在蒙地卡羅路徑中完全剔除後，MBS 能提供給投資人超出基準國債曲線的「純淨信用與流動性利差溢酬」：

OAS 計算方法：透過數值迭代演算法，尋找一個常數利差 $K$ ；當將 $K$ 同步加到所有模擬路徑的所有月份折現率中時，模擬出的平均現值恰好精確等於市場實際觀察到的 MBS 交易市價（含應計利息）。
OAS 的核心實務價值：在相同信用水準下，OAS 愈大代表該 MBS 愈被市場低估（投資價值愈高）。
OAS 模型的關鍵限制：OAS 高度依賴蒙地卡羅模擬中的「提前還款模型假設」與「利率波動度假設」；若行為學還款模型失真或未能反映 OAS 自身的期限結構，OAS 的定價結論將產生嚴重模型風險（Model Risk）。

結語：解構房貸證券化的非線性世界

不動產抵押貸款證券（MBS）的世界是金融工程與人類行為經濟學的交會點。從底層房貸的本息消長數學、CPR/SMM 提前還款指標轉換，到 CMO 結構的分層風險重組與蒙地卡羅 OAS 評價，MBS 展現了固定收益領域中最迷人也最具挑戰性的非線性特徵。深刻掌握負凸性、縮短與展期風險的傳導機制，是風險管理師在動態利率環境下實施精準避險的致勝關鍵。

核心公式彙整（Core Formulas）

1. 等額本息完全攤還房貸月還款額（Level-Payment Fully Amortized Mortgage）

$PMT = PV \times \frac{r(1+r)^N}{(1+r)^N - 1}$

$PMT$ ：每月固定還款額（Monthly Level Payment）
$PV$ ：原始貸款本金總額（Initial Loan Balance）
$r = \text{Annual Rate} / 12$ ：每月房貸利率
$N = \text{Years} \times 12$ ：總還款期數（例如 30 年期 $N = 360$ ）

2. 房貸池加權平均到期期限（WAM）與加權平均票面利率（WAC）

$\text{WAM} = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\text{Balance}_i}{\text{Total Balance}} \times \text{Maturity}_i \right)$

$\text{WAC} = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\text{Balance}_i}{\text{Total Balance}} \times \text{Rate}_i \right)$

3. 條件提前還款率（CPR）與單月死亡率（SMM）雙向精確轉換

$SMM = 1 - (1 - CPR)^{1/12}$

$CPR = 1 - (1 - SMM)^{12}$

$CPR$ ：年化條件提前還款率（Annual Conditional Prepayment Rate）
$SMM$ ：單月提前還款死亡率（Single Monthly Mortality Rate）

4. PSA 提前還款基準模型（100 PSA Benchmark）

$\begin{cases} CPR(t) = 0.2\% \times t, & \text{for } 1 \le t \le 30 \ CPR(t) = 6.0\%, & \text{for } 30 < t \le 360 \end{cases}$

$t$ ：房貸發行後之存續月數（Loan Age in Months）

5. 美元滾動交易價值公式（Dollar Roll Valuation）

$\text{Value of a Dollar Roll} = A - B + C - D$

$A$ ：第 1 個月 TBA 出售所得現金（含應計利息）
$B$ ：第 2 個月 TBA 買回支付成本（含應計利息）
$C$ ：第 1 個月銷售款進行 1 個月短期投資獲得之利息
$D$ ：因放棄持有 1 個月而損失之應收房貸票息與本金償還總額

專業術語與概念對照表（Glossary & Key Concepts）

專業術語（繁體中文）	英文術語	核心定義與運作機制	實務與考試要點（Exam & Context）
不動產抵押貸款證券	Mortgage-Backed Securities (MBS)	以住宅或商業房貸資產池為底層擔保所發行之標準化流動性債務證券。	核心特徵為內嵌借款人之提前還款選擇權，價格呈現負凸性。
過手證券	Pass-Through Securities	底層房貸本息扣除服務費後直接依比例全數過手轉付給投資人的基礎 MBS 架構。	投資人完整暴露於縮短風險與展期風險中。
加權平均到期期限	Weighted Average Maturity (WAM)	房貸池中各筆貸款剩餘到期月數按未償本金餘額權重計算之加權平均值。	用於評估資產池整體剩餘久期與到期分佈。
加權平均票息	Weighted Average Coupon (WAC)	房貸池中各筆貸款合約利率按未償本金餘額權重計算之加權平均值。	決定資產池總利息產出能力與再融資激勵基準。
條件提前還款率	Conditional Prepayment Rate (CPR)	以年化百分比表示之房貸池本金預期提前清償比率。	宏觀衡量資產池提前還款速度之年化基準指標。
單月死亡率	Single Monthly Mortality (SMM)	當月扣除表定還款後之剩餘本金餘額在該月份被提前償還的實際月度百分比。	用於逐月精確計算當月實際提前還款現金流金額。
PSA 基準模型	PSA Prepayment Benchmark	前 30 個月每月 CPR 增加 0.2%、第 30 個月後維持 6% 的標準化房貸成熟度曲線。	100 PSA 為基準；200 PSA 代表速度加倍，50 PSA 代表速度減半。
待公布市場	To-Be-Announced (TBA) Market	買賣雙方先鎖定價格與基本參數、結算前 2 天賣方才公布交付池的流動性遠期市場。	賣方擁有最廉交付（Cheapest-to-Deliver）選擇權。
美元滾動交易	Dollar Roll	同時賣出近月 TBA 並買進遠月 TBA，放棄單月本息以換取短期利息與價格折扣。	核心計算考點： $\text{Value} = A - B + C - D$ 。
擔保抵押貸款憑證	Collateralized Mortgage Obligations (CMO)	將過手證券現金流依規則重新切分為不同優先順位與期限特徵級別之結構化商品。	重塑風險分佈，滿足不同機構投資人的資產負債匹配需求。
計畫攤還級別	Planned Amortization Class (PAC)	在預設 PAC Collar 區間內享有嚴格穩定本金償還時間表的最高優先保護級別。	依賴 Support 級別吸收提前還款波動；Support 耗盡後退化為普通債券。
支援 / 伴隨級別	Support / Companion Tranche	專門吸收超額還款或在還款不足時讓渡本金，為 PAC 提供保護之高波動緩衝級別。	承擔極端縮短與展期風險，平均壽命波動極大。
純本金證券	Principal-Only (PO)	僅收取本金現金流之剝離式證券，折價發行且最終收回全額面值。	具備極高正存續期間；利率走低引發提前還款加速時價格大幅上漲。
純利息證券	Interest-Only (IO)	僅收取利息現金流之剝離式證券，無面額返還保證。	具備負存續期間；利率走低引發提前還款加速時利息瞬間枯竭，價格暴跌。
再融資疲勞效應	Refinancing Burnout	利率反覆波動下，有能力再融資之借款人多已完成操作，後續週期反應度遞減的現象。	構成房貸現金流強烈「路徑依賴（Path Dependence）」的核心原因。
選擇權調整利差	Option-Adjusted Spread (OAS)	透過蒙地卡羅路徑模擬扣除提前還款選擇權代價後，超出基準利率之純淨信用與流動性利差。	OAS 愈大代表價值愈被低估；核心弱點為極度依賴提前還款模型假設。

引言：MBS——流動性煉金術與非對稱提前還款風險

論點一：住宅房貸微觀結構與等額本息攤還計算（Fixed-Rate Level-Payment & Amortization）

1.1 房貸產品分類：固定利率、可調利率（ARM）與證券化演進

固定利率房貸（Fixed-Rate Mortgages）：
合約期限內利率完全固定（常見為 15 年或 30 年），借款人每月繳納固定金額的等額本息。其優點為現金流可預測性高，但放款銀行需承擔長期的利率波動風險。
可調利率房貸（Adjustable-Rate Mortgages, ARMs）：
利率在初期固定數年後，定期根據市場基準指數（如 SOFR 或國債利率）加計固定加點進行動態調整。當市場利率劇烈上升時，借款人的月供大幅暴增，容易引發支付衝擊（Payment Shock）與違約風險激增。

1.1.1 【房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構】

房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構

公寓大樓

自住住宅

各類房貸戶

【眾多房屋借款人】

數千至數萬名借款人，每月按期繳納房貸本金與利息。

【發起行 / 服務商】

負責貸款審批、發放、催收與現金流管理。

扣除服務費 / 擔保費

(Servicing & Guarantee Fees)

【SPV 房貸資產池】

這是通過 SPV 發行的證券。借款人每月償還的本息在扣除服務費與擔保費後，如流水般原汁原味地「過手」傳遞給終端投資人。

壽險/退休金

基金/個人

【過手證券投資人】

投資過手證券的最終持有人，享有房貸資產池的利息收益，同時全額承擔提前還款的縮短與展期風險。

1. 借款人每月本息還款

2. 扣除 Servicing & Guarantee 費用

3. SPV 資產池打包過手

4. 投資人依比例收取剩餘淨現金流

過手證券結構（Pass-Through Securities）：
發起機構（Originator）將房貸打包出售給特殊目的機構（Special Purpose Vehicle, SPV），SPV 發行過手證券。借款人每月償還的本金與利息，扣除必要的服務費（Servicing Fee）與擔保費（Guarantee Fee）後，如流水般原汁原味地「過手」傳遞給終端投資人。

1.2 等額本息完全攤還（Level-Payment Fully Amortized）數學機制

每月利息：等於「期初未償本金餘額（Beginning Balance） $\times$ 月利率（ $r = \text{Annual Rate} / 12$ ）」。
每月本金償還：等於「每月總還款額 $PMT - \text{當月利息}$ 」。
期末本金餘額：等於「期初本金餘額 $-$ 當月本金償還」。

等額本息房貸月還款（PMT）內部「利息 vs. 本金」動態消長趨勢

貸款初期（前 10 年）

未償本金基數龐大，月供中 70%~90% 用於支付利息，剩餘本金餘額減少極其緩慢。

貸款後期（後 10 年）

未償本金已大幅降低，利息負擔急劇萎縮，絕大部分月供直接轉為本金加速清償。

初期特性：未償本金龐大，每月還款絕大部分被利息吞噬，本金減少極其緩慢。
後期特性：本金餘額大幅下降，每月利息微乎其微，絕大部分還款直接用於加速償還剩餘本金。

1.3 機構型（Agency/Conforming）vs. 非機構型（Non-Agency）MBS 的信用防護

機構型 MBS（Agency / Conforming MBS）：
由美國三大政府資助機構（GSEs）發行或擔保：政府國民抵押貸款協會（GNMA / Ginnie Mae，享美國政府全額信用擔保）、聯邦國民抵押貸款協會（FNMA / Fannie Mae）及聯邦住房金融抵押公司（FHLMC / Freddie Mac）。
- 信用風險近乎為零：GSEs 保證準時支付本息；若借款人實質違約，GSEs 會直接替借款人代償全額未償本金。
- 投資人仍全額承擔提前還款風險：違約代償在現金流視角上與「借款人提前全額還款」完全等價。
非機構型 MBS（Non-Agency / Non-Conforming MBS）：
由商業銀行、券商等私部門機構發行，底層資產為大額貸款（Jumbo Loans）或信用評分較低的次級房貸（Subprime），無 GSEs 擔保，投資人必須直接承擔信用違約與本金損失風險，通常需依賴內部信用增級（如優先/次順位分層）進行防禦。

論點二：MBS 證券化池與提前還款速度量化（WAM, WAC, CPR, SMM, PSA Benchmark）

2.1 房貸池加權特徵：WAM 與 WAC

由於房貸池內包含數百至數千筆不同條件的個別貸款，市場使用兩個加權指標刻畫其基礎特徵：

加權平均到期期限（Weighted Average Maturity, WAM）：
以各筆貸款未償本金餘額佔資產池總金額之權重，計算剩餘到期月數之加權平均值。
加權平均票面利率（Weighted Average Coupon, WAC）：
以各筆貸款未償本金餘額為權重，計算貸款年利率之加權平均值。

2.2 提前還款速度指標：CPR 與 SMM 的精確雙向轉換

提前還款使 MBS 的現金流時間與金額充滿不確定性。市場採用以下標準化指標進行量化：

條件提前還款率（Conditional Prepayment Rate, CPR）：
以年化百分比表示的房貸池未償餘額預期提前還款速率。
單月死亡率（Single Monthly Mortality Rate, SMM）：
衡量當月未償本金餘額（扣除當期表定本金償還後）在該月份被提前清償的實際比例。

兩者之間的無套利幾何轉換公式為：

$SMM = 1 - (1 - CPR)^{1/12}$

$CPR = 1 - (1 - SMM)^{12}$

實例：若 $CPR = 6\%$ ，則 $SMM = 1 - (1 - 0.06)^{1/12} \approx 0.514\%$ 。代表當月扣除表定攤還後剩餘本金的 $0.514\%$ 會被提前還清。

2.3 PSA 提前還款標準基準曲線（100 PSA 模型）

前 30 個月（加速期）： $CPR$ 自第 1 個月的 $0.2\%$ 開始，每月線性遞增 $0.2\%$ ，即 $CPR = 0.2\% \times t$ （ $t$ 為月數，第 14 個月 $CPR = 14 \times 0.2\% = 2.8\%$ ）。
第 30 個月至第 360 個月（平穩成熟期）： $CPR$ 固定維持在年化 $6.0\%$ 。

PSA 提前還款基準模型曲線（100 PSA vs. 200 PSA vs. 50 PSA）

100% PSA 運作公式：前 30 個月 $CPR = 0.2\% \times t$（每月線性遞增 0.2%）；第 30 至 360 個月 $CPR$ 永久恆定為 $6.0\%$。

$X\%$ PSA 換算： $X\%$ PSA 即代表在各月份的 $CPR$ 均為 100 PSA 標準值的 $X\%$ 倍（例如 150 PSA 在第 25 個月 $CPR = 1.5 \times (25 \times 0.2\%) = 7.5\%$ ）。

2.4 TBA 市場機制、指定池交易與 Dollar Roll（美元滾動）評價

MBS 二級市場主要有兩種交易模式：

指定池市場（Specified Pools Market）：買賣雙方在交易前即明確指定具體的房貸池編號（Pool ID）與精確特徵，價格直接反映該特定池的提前還款特點。
待公布市場（To-Be-Announced, TBA Market）：流動性極高的前瞻遠期市場。交易雙方僅約定發行機構、年期與票面利率，賣方在結算日前 2 天（48-Hour Rule）才通知買方具體交付的房貸池，賣方具有最廉交付（Cheapest-to-Deliver）選擇權。
美元滾動交易（Dollar Roll Transaction）：
MBS 造市商在賣出近月 TBA 合約的同時，買入遠月（下一個月）TBA 合約。此交易實質上放棄了近月房貸池的票息與本金現金流，換取近月資金在貨幣市場的短期利息收益與遠月合約的價格折扣（Drop）。
$\text{Value of a Dollar Roll} = A - B + C - D$
- $A$ ：第 1 個月賣出房貸池所得現金（含應計利息）
- $B$ ：第 2 個月買回房貸池支付成本（含應計利息）
- $C$ ：將第 1 個月銷售資金進行 1 個月短期再投資所得利息
- $D$ ：因放棄持有該房貸池 1 個月而損失之應得票息與本金償還

論點三：結構化重組與分層風險重塑：CMO、PAC、PO 與 IO

3.1 提前還款的兩大雙生風險：縮短風險（Contraction Risk）與展期風險（Extension Risk）

提前還款選擇權使一般過手證券（Pass-Through）投資人同時暴露於兩大極端風險中：

縮短風險（Contraction Risk）：當市場利率大幅下跌時，借款人加速還款，MBS 現金流快速收回，導致證券平均壽命（Average Life）劇烈縮短，投資人被迫在更低的市場利率下進行再投資。
展期風險（Extension Risk）：當市場利率大幅上升時，借款人停止還款，MBS 現金流停滯，證券平均壽命被大幅拉長，投資人資金被長期鎖定在低於市場利率的資產上。

3.2 擔保抵押貸款憑證（CMO）與計畫攤還級別（PAC）的防護傘機制

其中最經典的結構即為計畫攤還級別（Planned Amortization Class, PAC Tranches）與支援級別（Support / Companion Tranches）的組合：

CMO 結構化分層：PAC 優先級別 vs. Support 支援緩衝級別

底層房貸池總現金流流入 (Collateral Cash Flow)

PAC Tranche（計畫攤還級別）

優先保障 · 極低現金流波動

✓在 PAC Collar（如 100~250 PSA）區間內，嚴格依固定時間表收取本金。
✓完全免於縮短風險（Contraction Risk）與展期風險（Extension Risk）。

Support Tranche（支援/伴隨級別）

風險緩衝 · 承擔雙向極端波動

⚡超速還款時：優先全額吸收超額本金，防止 PAC 提前縮短。
⚡減速還款時：本金全部讓渡給 PAC，自身承受現金流延遲展期。

PAC 領航機制：PAC 級別在特定的提前還款區間（稱為 PAC Collar，如 100~250 PSA）內，享有完全穩定的本金攤還時間表。
Support 級別的緩衝吸收：
- 若實際提前還款速度超速（ $> \text{Upper Collar}$ ），Support 級別優先吸收所有超額本金，保護 PAC 不發生縮短風險。
- 若實際提前還款速度低於預期（ $< \text{Lower Collar}$ ），本金優先全部供應給 PAC，Support 級別本金被延後發放，承擔展期風險。
破裂 PAC（Busted / Broken PAC）：若極端超速還款持續過久，導致 Support 級別被全數本金清償完畢，PAC 將失去所有緩衝保護，退化為普通的順序支付（Sequential-Pay）債券。

3.3 剝離式證券（Stripped MBS）：純本金證券（PO）與純利息證券（IO）的極端敏感度

將底層房貸的本息完全剝離，會誕生兩種對利率反應截然相反的極端衍生品：

證券類型	現金流結構特徵	利率敏感度與存續期間	利率下跌時的表現
純本金證券（Principal-Only, PO）	僅收取本金現金流。初期金額極小，隨時間與本金攤還加速而擴大。最終收回全額面值。	極高正存續期間（Positive Duration）。對提前還款加速極度敏感。	價格暴漲。利率走低引發提前還款狂潮，折價發行的本金加速全額回流，大幅提升內部報酬率（IRR）。
純利息證券（Interest-Only, IO）	僅收取利息現金流。初期金額極大，隨著本金餘額被償還而持續萎縮。無面額返還保證。	負存續期間（Negative Duration）。極度渴望借款人「延緩還款」。	價格暴跌。利率走低引發本金迅速清償，底層計息本金瞬間歸零，IO 投資人損失大部分預期利息，甚至面臨總投資本金虧損。

論點四：提前還款動態建模、蒙地卡羅路徑依賴評價與選擇權調整利差（OAS）

4.1 提前還款的四大行為驅動因子：再融資、周轉、違約與縮減

行為學與計量模型將房貸池提前還款拆解為四大驅動力量：

再融資（Refinancing）：受激勵函數（Incentive Function: $I = WAC - R$ ）驅動。當現行房貸利率 $R$ 明顯低於原貸款利率 $WAC$ 且能覆蓋手續費時觸發。同時存在再融資疲勞效應（Refinancing Burnout）：當利率多次下降又回升時，能夠且願意再融資的借款人早已在第一波完成操作，後續週期的再融資響應度將大幅衰減。
房屋周轉（Housing Turnover）：借款人因搬家、換屋或工作變遷出售房產而強制清償貸款。受到季節性（夏季高、冬季低）及鎖定效應（Lock-in Effect，高息環境下屋主不願放棄既有超低息房貸而減少換屋）影響。
違約代償（Defaults）：借款人違約後由保證機構（如 GSEs）代償全額剩餘本金，在現金流效果上等同於提前還款。受貸款價值比（LTV）與 FICO 信用評分高度影響。
小額縮減（Curtailments）：借款人在正常月供之外額外支付的小額本金加速還款，多發生於貸款成熟後期或餘額較小的帳戶。

4.2 蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）六步驟與路徑依賴（Path Dependence）

MBS 蒙地卡羅評價與選擇權調整利差（OAS）六步驟流程

01步驟 1

利率與房價路徑模擬

利用無套利利率模型生成 360 個月之短期利率與房價隨機擴散軌跡。

02步驟 2

行為還款計量建模

依據激勵函數 (WAC - R)、再融資疲勞 (Burnout) 及 LTV 計算各月 CPR/SMM。

03步驟 3

逐月推導總現金流

推導各條隨機路徑下各月份的「表定本金 + 淨利息 + 提前還款總額」。

04步驟 4

即期折現率貼現現值

沿著該條隨機路徑之即期折現曲線，將 360 個月現金流貼現求得單一路徑現值 (PV)。

05步驟 5

數萬次蒙地卡羅疊代

重複步驟 1~4 數千至數萬次，生成龐大且完整的現值機率分佈。

06步驟 6

公允價值與 OAS 反推

計算全體路徑現值均值作為公允價值，並數值反推選擇權調整利差 (OAS)。

4.3 選擇權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）的迭代反推與實務局限

OAS 計算方法：透過數值迭代演算法，尋找一個常數利差 $K$ ；當將 $K$ 同步加到所有模擬路徑的所有月份折現率中時，模擬出的平均現值恰好精確等於市場實際觀察到的 MBS 交易市價（含應計利息）。
OAS 的核心實務價值：在相同信用水準下，OAS 愈大代表該 MBS 愈被市場低估（投資價值愈高）。
OAS 模型的關鍵限制：OAS 高度依賴蒙地卡羅模擬中的「提前還款模型假設」與「利率波動度假設」；若行為學還款模型失真或未能反映 OAS 自身的期限結構，OAS 的定價結論將產生嚴重模型風險（Model Risk）。

結語：解構房貸證券化的非線性世界

核心公式彙整（Core Formulas）

1. 等額本息完全攤還房貸月還款額（Level-Payment Fully Amortized Mortgage）

$PMT = PV \times \frac{r(1+r)^N}{(1+r)^N - 1}$

$PMT$ ：每月固定還款額（Monthly Level Payment）
$PV$ ：原始貸款本金總額（Initial Loan Balance）
$r = \text{Annual Rate} / 12$ ：每月房貸利率
$N = \text{Years} \times 12$ ：總還款期數（例如 30 年期 $N = 360$ ）

2. 房貸池加權平均到期期限（WAM）與加權平均票面利率（WAC）

$\text{WAM} = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\text{Balance}_i}{\text{Total Balance}} \times \text{Maturity}_i \right)$

$\text{WAC} = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\text{Balance}_i}{\text{Total Balance}} \times \text{Rate}_i \right)$

3. 條件提前還款率（CPR）與單月死亡率（SMM）雙向精確轉換

$SMM = 1 - (1 - CPR)^{1/12}$

$CPR = 1 - (1 - SMM)^{12}$

$CPR$ ：年化條件提前還款率（Annual Conditional Prepayment Rate）
$SMM$ ：單月提前還款死亡率（Single Monthly Mortality Rate）

4. PSA 提前還款基準模型（100 PSA Benchmark）

$\begin{cases} CPR(t) = 0.2\% \times t, & \text{for } 1 \le t \le 30 \ CPR(t) = 6.0\%, & \text{for } 30 < t \le 360 \end{cases}$

$t$ ：房貸發行後之存續月數（Loan Age in Months）

5. 美元滾動交易價值公式（Dollar Roll Valuation）

$\text{Value of a Dollar Roll} = A - B + C - D$

$A$ ：第 1 個月 TBA 出售所得現金（含應計利息）
$B$ ：第 2 個月 TBA 買回支付成本（含應計利息）
$C$ ：第 1 個月銷售款進行 1 個月短期投資獲得之利息
$D$ ：因放棄持有 1 個月而損失之應收房貸票息與本金償還總額

專業術語與概念對照表（Glossary & Key Concepts）

專業術語（繁體中文）	英文術語	核心定義與運作機制	實務與考試要點（Exam & Context）
不動產抵押貸款證券	Mortgage-Backed Securities (MBS)	以住宅或商業房貸資產池為底層擔保所發行之標準化流動性債務證券。	核心特徵為內嵌借款人之提前還款選擇權，價格呈現負凸性。
過手證券	Pass-Through Securities	底層房貸本息扣除服務費後直接依比例全數過手轉付給投資人的基礎 MBS 架構。	投資人完整暴露於縮短風險與展期風險中。
加權平均到期期限	Weighted Average Maturity (WAM)	房貸池中各筆貸款剩餘到期月數按未償本金餘額權重計算之加權平均值。	用於評估資產池整體剩餘久期與到期分佈。
加權平均票息	Weighted Average Coupon (WAC)	房貸池中各筆貸款合約利率按未償本金餘額權重計算之加權平均值。	決定資產池總利息產出能力與再融資激勵基準。
條件提前還款率	Conditional Prepayment Rate (CPR)	以年化百分比表示之房貸池本金預期提前清償比率。	宏觀衡量資產池提前還款速度之年化基準指標。
單月死亡率	Single Monthly Mortality (SMM)	當月扣除表定還款後之剩餘本金餘額在該月份被提前償還的實際月度百分比。	用於逐月精確計算當月實際提前還款現金流金額。
PSA 基準模型	PSA Prepayment Benchmark	前 30 個月每月 CPR 增加 0.2%、第 30 個月後維持 6% 的標準化房貸成熟度曲線。	100 PSA 為基準；200 PSA 代表速度加倍，50 PSA 代表速度減半。
待公布市場	To-Be-Announced (TBA) Market	買賣雙方先鎖定價格與基本參數、結算前 2 天賣方才公布交付池的流動性遠期市場。	賣方擁有最廉交付（Cheapest-to-Deliver）選擇權。
美元滾動交易	Dollar Roll	同時賣出近月 TBA 並買進遠月 TBA，放棄單月本息以換取短期利息與價格折扣。	核心計算考點： $\text{Value} = A - B + C - D$ 。
擔保抵押貸款憑證	Collateralized Mortgage Obligations (CMO)	將過手證券現金流依規則重新切分為不同優先順位與期限特徵級別之結構化商品。	重塑風險分佈，滿足不同機構投資人的資產負債匹配需求。
計畫攤還級別	Planned Amortization Class (PAC)	在預設 PAC Collar 區間內享有嚴格穩定本金償還時間表的最高優先保護級別。	依賴 Support 級別吸收提前還款波動；Support 耗盡後退化為普通債券。
支援 / 伴隨級別	Support / Companion Tranche	專門吸收超額還款或在還款不足時讓渡本金，為 PAC 提供保護之高波動緩衝級別。	承擔極端縮短與展期風險，平均壽命波動極大。
純本金證券	Principal-Only (PO)	僅收取本金現金流之剝離式證券，折價發行且最終收回全額面值。	具備極高正存續期間；利率走低引發提前還款加速時價格大幅上漲。
純利息證券	Interest-Only (IO)	僅收取利息現金流之剝離式證券，無面額返還保證。	具備負存續期間；利率走低引發提前還款加速時利息瞬間枯竭，價格暴跌。
再融資疲勞效應	Refinancing Burnout	利率反覆波動下，有能力再融資之借款人多已完成操作，後續週期反應度遞減的現象。	構成房貸現金流強烈「路徑依賴（Path Dependence）」的核心原因。
選擇權調整利差	Option-Adjusted Spread (OAS)	透過蒙地卡羅路徑模擬扣除提前還款選擇權代價後，超出基準利率之純淨信用與流動性利差。	OAS 愈大代表價值愈被低估；核心弱點為極度依賴提前還款模型假設。

引言：MBS——流動性煉金術與非對稱提前還款風險

論點一：住宅房貸微觀結構與等額本息攤還計算（Fixed-Rate Level-Payment & Amortization）

1.1 房貸產品分類：固定利率、可調利率（ARM）與證券化演進

1.1.1 【房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構】

房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構

1.2 等額本息完全攤還（Level-Payment Fully Amortized）數學機制

等額本息房貸月還款（PMT）內部「利息 vs. 本金」動態消長趨勢

1.3 機構型（Agency/Conforming）vs. 非機構型（Non-Agency）MBS 的信用防護

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2.1 房貸池加權特徵：WAM 與 WAC

2.2 提前還款速度指標：CPR 與 SMM 的精確雙向轉換

2.3 PSA 提前還款標準基準曲線（100 PSA 模型）

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3.1 提前還款的兩大雙生風險：縮短風險（Contraction Risk）與展期風險（Extension Risk）

3.2 擔保抵押貸款憑證（CMO）與計畫攤還級別（PAC）的防護傘機制

CMO 結構化分層：PAC 優先級別 vs. Support 支援緩衝級別

PAC Tranche（計畫攤還級別）

Support Tranche（支援/伴隨級別）

3.3 剝離式證券（Stripped MBS）：純本金證券（PO）與純利息證券（IO）的極端敏感度

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4.2 蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）六步驟與路徑依賴（Path Dependence）

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利率與房價路徑模擬

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即期折現率貼現現值

數萬次蒙地卡羅疊代

公允價值與 OAS 反推

4.3 選擇權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）的迭代反推與實務局限

結語：解構房貸證券化的非線性世界

核心公式彙整（Core Formulas）

1. 等額本息完全攤還房貸月還款額（Level-Payment Fully Amortized Mortgage）

2. 房貸池加權平均到期期限（WAM）與加權平均票面利率（WAC）

3. 條件提前還款率（CPR）與單月死亡率（SMM）雙向精確轉換

4. PSA 提前還款基準模型（100 PSA Benchmark）

5. 美元滾動交易價值公式（Dollar Roll Valuation）

專業術語與概念對照表（Glossary & Key Concepts）

延伸閱讀

引言：MBS——流動性煉金術與非對稱提前還款風險

論點一：住宅房貸微觀結構與等額本息攤還計算（Fixed-Rate Level-Payment & Amortization）

1.1 房貸產品分類：固定利率、可調利率（ARM）與證券化演進

1.1.1 【房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構】

房貸過手證券（Pass-Through）資金流向架構

1.2 等額本息完全攤還（Level-Payment Fully Amortized）數學機制

等額本息房貸月還款（PMT）內部「利息 vs. 本金」動態消長趨勢

1.3 機構型（Agency/Conforming）vs. 非機構型（Non-Agency）MBS 的信用防護

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2.3 PSA 提前還款標準基準曲線（100 PSA 模型）

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2.4 TBA 市場機制、指定池交易與 Dollar Roll（美元滾動）評價

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3.1 提前還款的兩大雙生風險：縮短風險（Contraction Risk）與展期風險（Extension Risk）

3.2 擔保抵押貸款憑證（CMO）與計畫攤還級別（PAC）的防護傘機制

CMO 結構化分層：PAC 優先級別 vs. Support 支援緩衝級別

PAC Tranche（計畫攤還級別）

Support Tranche（支援/伴隨級別）

3.3 剝離式證券（Stripped MBS）：純本金證券（PO）與純利息證券（IO）的極端敏感度

論點四：提前還款動態建模、蒙地卡羅路徑依賴評價與選擇權調整利差（OAS）

4.1 提前還款的四大行為驅動因子：再融資、周轉、違約與縮減

4.2 蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）六步驟與路徑依賴（Path Dependence）

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數萬次蒙地卡羅疊代

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4.3 選擇權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）的迭代反推與實務局限

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1. 等額本息完全攤還房貸月還款額（Level-Payment Fully Amortized Mortgage）

2. 房貸池加權平均到期期限（WAM）與加權平均票面利率（WAC）

3. 條件提前還款率（CPR）與單月死亡率（SMM）雙向精確轉換

4. PSA 提前還款基準模型（100 PSA Benchmark）

5. 美元滾動交易價值公式（Dollar Roll Valuation）